Funkciou tu budeme rozumieť také zobrazenie $f$, ktorého definičný obor $D(f)$ a obor hodnôt $H(f)$ sú podmnožinami množiny reálnych čísel $R$. Graf funkcie $f$ je množina usporiadaných dvojíc $\{ [x,f(x)] \mathbin{;} x \in D(f) \}$.
Funkcie budeme najčastejšie zadávať pomocou predpisov v tvare rovnice $$y = \tau[x], \quad x \in D.$$ Tu hodnoty nezávislej premennej $x$ (argument funkcie) vyberáme z množiny $D$ a závislej premennej $y$ (funkčná hodnota) priraďujeme hodnoty výrazu $\tau[x]$. Rozumieme tým funkciu $f$ s definičným oborom $D$ takú, že $f(x)$ sa rovná $\tau[x]$ pre každý prvok $x$ z $D$, t. j. $$\forall x \in D {:}\ f(x) = \tau[x].$$ Ak nie je uvedené inak, definičným oborom takto definovanej funkcie bude vždy množina všetkých reálnych čísel $x$, pre ktoré výraz $\tau[x]$ má zmysel.
Nech $x_0$ je prvok definičného oboru $D(f)$ funkcie $𝑓$.
Lokálne maximá a minimá funkcie nazývame lokálnymi extrémami tejto funkcie. Ostré lokálne maximá a minimá funkcie nazývame ostrými lokálnymi extrémami tejto funkcie.
Nech $x_0$ je prvok definičného oboru $D(f)$ funkcie $𝑓$.
Globálne maximá a minimá funkcie nazývame globálnymi extrémami tejto funkcie. Ostré globálne maximá a minimá funkcie nazývame ostrými globálnymi extrémami tejto funkcie. Prívlastok "globálny" často vynechávame.
Nech množina $A$ je časťou definičného oboru funkcie $f$.
Rastúce, neklesajúce, klesajúce a nerastúce funkcie nazývame monotónnymi. Funkcie rastúce a klesajúce nazývame rýdzo monotónnymi.
Nech $a$ je hromadný bod definičného bodu funkcie $f$. Priamka $x = a$ sa nazýva asymptotou bez smernice grafu funkcie $f$, ak jedná z týchto limít $\lim_{x \to a_-} f(x)$ alebo $\lim_{x \to a_+} f(x)$ existuje a je nevlastná. Čiže nastane aspoň jeden z týchto prípadov: $$ \lim_{x \to a_-} f(x) = +\infty \quad \lim_{x \to a_-} f(x) = -\infty \quad \lim_{x \to a_+} f(x) = +\infty \quad \lim_{x \to a_+} f(x) = -\infty . $$
Nech $+\infty$ je hromadný bod definičného bodu funkcie $f$. Priamka $y = ax+b$ sa nazýva asymptotou zo smernicou grafu funkcie $f$ v bode $+\infty$, ak $$\lim_{x \to +\infty} (f(x)-(ax+b)) = 0.$$ Táto rovnosť platí práve vtedy, keď $$\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = a \qquad \lim_{x \to +\infty} (f(x)-ax) = b.$$
Nech $-\infty$ je hromadný bod definičného bodu funkcie $f$. Priamka $y = ax+b$ sa nazýva asymptotou zo smernicou grafu funkcie $f$ v bode $-\infty$, ak $$\lim_{x \to -\infty} (f(x)-(ax+b)) = 0.$$ Táto rovnosť platí práve vtedy, keď $$\lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = a \qquad \lim_{x \to -\infty} (f(x)-ax) = b.$$
Nech interval $I$ je časťou definičného oboru funkcie $f$.
Vnútorný bod $x$ definičného oboru funkcie sa nazýva inflexný bod funkcie, ak funkcia má v bode $x$ deriváciu a existuje $h > 0$ tak, že funkcia je rýdzo konvexná na jednej z množín $( x-h, x \rangle$, $\langle x, a+h )$ a rýdzo konkávna na druhej z nich.
Deriváciou funkcie $f$ rozumieme funkciu $f´$, ktorej hodnota $f´(x) $ vo vnútornom bode $x$ definičného oboru funkcie $𝑓$ je smernicou dotyčnice grafu funkcie $f$ v bode $[x,f(x)]$. Formálne $$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$$
V nasledujúcej tabuľke sú derivácie základných elementárnych funkcií ($c$ je reálna konštanta): \begin{align*} (c)' & = 0, \\ (x^n)' & = nx^{n-1} \quad (n \in R \setminus \{0\}), \\ (a^x)' & = a^x \ln a, && \text{špeciálne}\ (e^x)' = e^x, \\ (\log_a x)' & = \frac{1}{x \ln a}, && \text{špeciálne}\ (\ln x)' = \frac{1}{x}, \\ (\sin x)' & = \cos x, \\ (\cos x)' & = -\sin x, \\ (\tan x)' & = \frac{1}{\cos^2 x}, \\ (\arcsin x)' & = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \\ (\arccos x)' & = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \\ (\arctan x)' & = \frac{1}{1+x^2}. \end{align*}
Ak funkcie $f$, $g$ majú deriváciu v bode $x$, tak aj funkcie $c \cdot f$ ($c$ je reálna konštanta), $f + g$, $f - g$, $f \cdot g$ majú v bode $x$ deriváciu a platí \begin{align*} (c \cdot f)'(x) & = c \cdot f'(x), \\ (f + g)'(x) & = f'(x) + g'(x), \\ (f - g)'(x) & = f'(x) - g'(x), \\ (f \cdot g)'(x) & = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x). \end{align*} Ak naviac $g(x) \ne 0$, majú v bode $x$ deriváciu aj funkcie $1/g$, $f/g$ a platí \begin{align*} \left(\frac{1}{g}\right)'(x) & = -\frac{g'(x)}{g^2(x)}, \\ \left(\frac{f}{g}\right)'(x) & = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{g^2(x)}. \end{align*}
Ak funkcia $f$ má deriváciu v bode $x$, funkcia $g$ deriváciu v bode $f(x)$ a zložená funkcia $h(x) = g(f(x))$ je definovaná v okolí bodu $x$, tak $h$ má v bode $x$ deriváciu a platí \begin{align*} h'(x) & = f'(x) \cdot g'(f(x)). \end{align*}
Nech funkcia $f : I \to R$, rýdzomonotónna na intervale $I$, má deriváciu v bode $x$ rôznu od $0$. Potom inverzná funkcia $f^{-1}$ má deriváciu v bode $f(x)$, pričom platí \begin{align*} \left(f^{-1}\right)'(f(x)) & = \frac{1}{f'(x)}. \end{align*}
Nech funkcia $f$ je dvakrát diferencovateľná vo vnútornom bode $x$ definičného oboru. Potom
Nech funkcia $f$ je spojitá na intervale $I$ a má deriváciu v každom jeho vnútornom bode. Potom
Nech funkcia $f$ je diferencovateľná v každom bode otvoreného intervalu $I$. Potom
Dôsledok. Nech funkcia $f$ je spojitá na intervale $I$ a dvakrát diferencovateľná v každom jeho vnútornom bode. Potom
Nech funkcia $f$ je trikrát diferencovateľná v bode $x$ a dvakrát diferencovateľná v niektorom jeho okolí. Ak $f''(x) = 0$, $f'''(x) \ne 0$, tak $x$ je inflexný bod funkcie $f$.